Lo mas probable es que alguna aplicación esté consumiendo en demasía tu ancho de banda... si estás haciendo una descarga o usando un gestor para ello desactivalo, y si tenes WIFI que sea con contraseña.
Primero haz un testeo de velocidad del ADSL para ver que todo esta bien. Si te conectas por wifi, cambia la clave para asegurarte de que nadie te roba la linea. (usa encriptacion WPK2 AES, si tu router te deja esa opcion).
Una vez que veas que la linea y las conexiones funcionan, el problema esta en el software. Prueba a reinstalar Java, a borrar todas las carpetas de Minecraft y vuelvelas a instalar. Y despues comprueba que el Firewall o el Antivirus no estan cerrando tu conexion.